本系列文章研究成熟的有限元理论基础及在商用有限元软件的实现方式。有限元的理论发展了几十年已经相当成熟，商用有限元软件同样也是采用这些成熟的有限元理论，只是在实际应用过程中，商用CAE软件在传统的理论基础上会做相应的修正以解决工程中遇到的不同问题，且各家软件的修正方法都不一样，每个主流商用软件手册中都会注明各个单元的理论采用了哪种理论公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多没有具体的实现公式。商用软件对外就是一个黑盒子，除了开发人员，使用人员只能在黑盒子外猜测内部实现方式。

一方面我们查阅各个主流商用软件的理论手册并通过进行大量的资料查阅猜测内部修正方法，另一方面我们自己编程实现结构有限元求解器，通过自研求解器和商软的结果比较来验证我们的猜测，如同管中窥豹一般来研究的修正方法，从而猜测商用有限元软件的内部计算方法。我们关注CAE中的结构有限元，所以主要选择了商用结构有限元软件中文档相对较完备的Abaqus来研究内部实现方式，同时对某些问题也会涉及其它的Nastran/Ansys等商软。为了理解方便有很多问题在数学上其实并不严谨，同时由于水平有限可能有许多的理论错误，欢迎交流讨论，也期待有更多的合作机会。

iSolver介绍视频：

http://www.jishulink.com/college/video/c12884

==第18篇：几何非线性的应变 ==

上一章我们介绍了几何非线性的物理含义，这章接着介绍几何非线性中重要的物理量：应变。物体在受到外力作用下会产生一定的变形，变形的程度称应变。理解应变的物理含义对有限元结果的判别和试验的对应有重要意义。线性情况下的应变非常容易计算，但如果存在几何非线性，就不是所有人都知道Abaqus等商软结果中的应变E代表的是什么了。本章首先从位移、变形和应变的区别说起，然后再具体介绍一下几何非线性下的应变是如何度量的。

一个物体从初始状态C0受到外部载荷运动到另一个状态C，由于材料不能凭空消失，那么C0下的任意的一个物质点a（设坐标为X）必然在C下有个对应点A（设坐标为x）。位移表示两个位置坐标相减，为u=x-X。

位移无法表示出变形情况，譬如大黄蜂变形为汽车时，身体360度转动，位移很大，但没有任何的变形。

变形必须要由两个点之间材料纤维的拉伸才能决定。对初始构想C0任意的两点a、b，变形后设为为AB，那么AB矢量和ab之间的关系可以由

                                                                         dx=F*dX

来表示。

其中F定义为deformation gradient matrix。

显然F与X和x的坐标系相关，dX和dx都是在特定三维空间笛卡尔坐标系下的矢量值。它是个张量，有9个量。F在理论上可以表示物体受力后的变形情况，但实际中试验没法测出这么多分量，因为拉伸试验等测试的几何量只能是位移，长度等有限的几个标量，这些基本量是无法得到F的全部分量的。所以只能寻找新的量来表示物体变形情况。

一种很自然的想法就是取模，也就是取F的绝对值，称为拉伸率strech ratio：

                                                               r=||dx||/||dX||

橡胶等材料，变形比较大，r可以达到2以上，那么在试验上很容易测量，但对金属等变形比较小的情况，一倍的力和两倍的力得到的r只是1.0001和1.0002，差异非常小，依然很难标定。

所以，为了测量和计算方便，人为假定了另一个表示物体变形情况的变量，就是应变，因为是人为设定的，所以应变的取法有很多种，主要考虑两个条件的便捷性：

（条件a）在试验上可以简单的表示为位移，长度等基本量，且工况不同时，差异较大，能容易反应出物体加载情况。

（条件b）在理论上可以方便地和位移、应力一起形成最终正确的求解方程。

为了简单起见，我们只针对一维情况来说明应变度量选择，应变的一般公式可以表示为r的一个函数：

                                                                       Strain=f(r)

由于应变是反应物体变形的量，那么当不变形时，也就是lambda=1时，显然Strain=0。

当变形特别小时，也就是r~=1时，假定应变和位移是线性的，那么取伸长量和原始长度的比值。

也就是：

                                                           Strain=u/X=(x-X)/X =r-1

x和X分别为最终和最初的长度。一倍的力和两倍的力得到的应变变为了0.0001和0.0002，差两倍关系，很容易区分出来。

此时，显然条件a很容易满足，同时，在理论上将应变和位移看成是线性关系去求刚度阵，受力后得到的位移也容易计算，且结果和试验一致，因此，条件b也满足。

当存在几何大变形的情况，变形比较大时，此时x-X已经和X比拟了。

此时工程应变中的应变和位移是线性关系这种假定求出的位移已经和实际偏差较大了，因此，需要采用新的应变度量方式。一种选择是应变取从初始时刻到最终时刻点这段时间的累加，显然，这种选择就与材料点在整个时间段内的变形路径有关。

问题：那么从上图的X到最终的x，我们取哪个路径呢？

答：取真实的路径。

实际情况是什么路径，就应该取什么路径，此时在真实路径下得到的应变就是真实应变。当然真实路径不一定总是直接从X直线到x点的，譬如下方

(1)  如果受力是FA，那么的确是X直线到x点A路径；

(2)  但如果是受力FB，那么可能是路径B，只不过试验上总是采用FA来做拉伸实验罢了。

在路径A下，可以得到

也就是真实应变和拉伸率的对数相等，这也是为什么真实应变也称为对数或者自然应变的原因。

真实应变在一维下很容易计算，但是在三维情况下，Strain和F相关，上面的积分就没法直接求了，只能得到一个类似

这种表达式求积分，时间的度量由增量来表示，真实应变由应变增量累加得到。因此，在计算机中每次求真实应变必须花费大量时间。

• 注：实际中有限元的几何非线性求应变增量需要计算局部模态，而模态分析的求解时间成本很大。

  
  

一般情况只能老老实实积分计算，但对大位移大转动小应变的特殊情况，发现应变如果取为Green应变，计算精度不受影响，同时，三维的应变也可以简单的表示出来。所以对小应变情况，可以采用Green应变，一维形式如下：

                                                                 Strain=0.5（r^2-1）

如果是壳单元，那么用的是局部坐标系，假设为L坐标系，初始构型下存在坐标系变换dX=F2*dL。类似的，几何大变形中任意一个构形也有类似的变换。此时变形量F或者真实应变就和L坐标系相关了。